Módulo Básico - Matemática Básica e Financeira

Matemática Básica e Financeira MÓDULO BÁSICO

Formação Técnica

Matemática Básica e Financeira Curso Técnico SENAR

SENAR - Brasília, 2020

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (eDOC BRASIL, Belo Horizonte/MG)

S491c

SENAR – Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. Curso EAD Técnico SENAR [livro eletrônico] : Módulo básico – Matemática Básica e Financeira / Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. – Brasília, DF: SENAR, 2025. – (SENAR Formação Técnica)

Formato: PDF Requisitos de sistema: Adobe Acrobat Reader Modo de acesso: World Wide Web Inclui bibliografia ISBN 978-85-7664-287-9

1. Ensino a distância. 2. Desenvolvimento agrícola – Assistência técnica. 3. Extensão rural. I. Título. II. Série.

CDU 630

Elaborado por Maurício Amormino Júnior | CRB6/2422

Sumário Introdução à Unidade Curricular �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 6 Tema 1: Matemática Básica ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 10 Tópico 1: Conjuntos numéricos �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 11 Tópico 2: Operações fundamentais ����������������������������������������������������������������������������������������������������� 14 Tópico 3: Frações ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 31 Tópico 4: Proporcionalidade ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 37 Tópico 5: Potências ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 44 Tópico 6: Medidas agrárias ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 50 Encerramento do tema ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 52 Tema 2: Matemática Financeira ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 54 Tópico 1: Juros simples ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 56 Tópico 2: Desconto simples �������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 64 Tópico 3: Juros compostos ����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 71 Tópico 4: Desconto composto ��������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 76 Encerramento do tema ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 81

Tema 3: Estatística e probabilidade ����������������������������������������������������������������������������������������������������������� 83 Tópico 1: Noções de estatística ������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 84 Tópico 2: Noções de probabilidade ��������������������������������������������������������������������������������������������������� 94 Encerramento do tema ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 101 Encerramento da unidade curricular ������������������������������������������������������������������������������������������������������ 102 Referências ���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������� 103 Gabarito ������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ 104

Introdução à Unidade Curricular

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Introdução à Unidade Curricular Conhecimentos básicos de matemática são essenciais, principalmente nos momentos em que é necessário tomar decisões em um negócio rural. Nesta unidade curricular de Matemática Básica e Financeira, você estudará diferentes assuntos, entre eles os apresentados no quadro a seguir.

Hoje os computadores, os softwares específicos e as calculadoras nos ajudam muito nos cálculos, porém é muito importante saber interpretar e julgar se os dados correspondem à realidade. Por isso, o objetivo de estudar a matemática básica é ter uma boa base de somas, produtos, divisões, frações e operações com potências. Este conceito é importante para regra de três simples, que é comumente usada em diversas situações do cotidiano de um profissional que atua no meio rural, por exemplo, para calcular a proporção adequada de insumo. É importante saber verificar todos os dados apresentados pelo gerente de um banco, por exemplo, para acompanhar e opinar ativamente em todo o processo de um financiamento. Por isso, é indispensável saber calcular juros simples, juros compostos e descontos. Conceitos de estatística são vitais para profissionais que oferecem consultoria, vendem insumos, pesquisam plantas e novas estratégias de agricultura ou administram uma empresa rural. Sabendo calcular a probabilidade, podemos determinar as chances de uma ação apresentar o resultado esperado ou não de acordo com um grau de aceitabilidade pré-estabelecido ou, ainda, analisar resultados de pesquisas de forma mais eficiente.

Matemática básica

Razão e proporção

Matemática financeira

Estatística básica

Noções de probabilidade

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Espera-se que você possa utilizar esses conhecimentos de matemática básica e financeira para solucionar questões relacionadas ao seu cotidiano profissional. Nesse sentido, lembre se de assistir às videoaulas, acessar o AVA e consultar os materiais complementares e os exercícios resolvidos disponíveis na biblioteca do AVA.

Competências para desenvolver na UC

Ao final desta unidade curricular, você deverá ser capaz de: • revisar os conceitos fundamentais da matemática básica; • aplicar os conhecimentos matemáticos em situações concretas da administração rural; • desenvolver o raciocínio lógico; • conhecer as definições básicas e os principais elementos da estatística.

a

Antes de começar, saiba que, mesmo sozinho, você pode aprender matemática básica rápido e com facilidade. Para isso, confira algumas dicas que podem otimizar os seus estudos:

Crie uma rotina de estudos. Mesmo que não disponha de muito tempo, se esforce para dedicar um mínimo de trinta minutos por dia, desta forma o conteúdo estará sempre “fresco” em sua memória.

Escolha um local tranquilo, ventilado e bem iluminado, sem interferência de aparelhos de televisão ou outros elementos que possam tirar a sua atenção.

Tire suas dúvidas! Procure a ajuda de colegas de classe e dos tutores da unidade, evite acumular dúvidas, pois isto gera insegurança e prejudica seu desempenho. No AVA você pode compartilhar dúvidas e buscar auxílio.

7

Tente resolver o maior número de exercícios possíveis. Somente assim você colocará em prática os conceitos estudados e conseguirá compreendê-los da melhor forma.

Leia atentamente o material de maneira crítica e interrogativa antes de praticar os exercícios. Refaça os exercícios resolvidos e elabore um resumo com suas anotações.

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8 Ao resolver os exercícios, primeiramente entenda o enunciado da questão e saiba qual é o seu objetivo. O português e a interpretação de textos também são muito importantes. Sempre se pergunte: o que o exercício quer? Se possível, leia o enunciado em voz alta, pois assim você pode perceber melhor o sentido do exercício. Antes de partir para a solução, resgate os seus conhecimentos matemáticos para identificar qual deles será mais efetivo na resolução do problema. Divida a resolução em várias etapas e resolva cada uma em separado e com total atenção.

Não tenha medo de errar. Quando erramos e tentamos compreender o motivo, exercitamos mais do que quando chegamos ao resultado correto rapidamente.

Dica

Você já ouvir falar no “teste da folha em branco”? Essa estratégia é útil quando nos aproximamos das avaliações. É bem simples, basta pegar uma folha em branco e escrever tudo o que você sabe do conteúdo, sem consulta e sem auxílio. Depois compare com o material da apostila e refaça até você estar seguro sobre sua compreensão do conteúdo.

'

Que esta unidade sobre matemática básica e financeira se torne prazerosa e que você possa tirar dela o maior proveito possível, levando os conceitos não só para seu dia a dia como profissional, mas também para sua vida pessoal.

Bons estudos!

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01 Matemática Básica

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Tema 1: Matemática Básica Esse tema inicial serve como introdução aos conceitos matemáticos. Nele você verá conteúdos fundamentais da matemática, tais como: conjuntos numéricos, operações entre números, regra de sinais, frações, razões e proporções, potências e unidades de medidas agrárias mais utilizadas. O objetivo é relembrar matérias do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, fortalecendo os fundamentos matemáticos para os próximos temas.

Competências Ao final deste primeiro tema, você deverá ter competência para: • conhecer os conjuntos numéricos e as operações numéricas com números inteiros e decimais, entendendo as regras de sinais; • diferenciar as operações fundamentais com frações, encontrando o m.m.c. e o m.d.c; • compreender razões e usar regras de três direta e inversamente proporcionais; • conhecer as medidas agrárias mais utilizadas.

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Fonte: Shutterstock

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Tópico 1: Conjuntos numéricos Quando ouvimos falar sobre matemática ou nos recordamos de nossas aulas do Ensino Fundamental ou Médio, a primeira lembrança que nos vem à cabeça são os números. Um dos conceitos mais básicos que temos é o de número . A construção dos conjuntos nu méricos se inicia com os números naturais, usados apenas para contar, e chega até os núme ros complexos, que possuem aplicação nas engenharias elétricas, nas produções químicas, entre outras áreas.

Conjuntos numéricos

Compreendemos conjunto como uma coleção de objetos, números ou elementos com características semelhantes. Assim, os conjuntos numéricos são os conjuntos dos números que possuem características semelhantes.

Existem os seguintes conjuntos numéricos: • Conjunto dos números naturais ( ℕ ) – números positivos. • Conjunto dos números inteiros ( ℤ ) – números positivos e negativos. • Conjunto dos números racionais ( ℚ ) – frações irredutíveis e dízimas periódicas. • Conjunto dos números irracionais ( ) – todos os números que não podem ser escritos da forma p q em que p e q são inteiros, ou seja, todos os números que não são racionais. Esses números, representados na forma decimal, possuem infinitas casas decimais que não se repetem. • Conjunto dos números reais ( ℝ ) – reunião de todos os conjuntos anteriores. Esses conjuntos respeitam uma hierarquia, como mostrado na imagem abaixo.

11

ℝ ℕ ℤ ℚ

Isso representa que o conjunto dos números reais é formado pela união de todos os conjuntos anteriores. Veja, a seguir, cada um desses conjuntos em detalhes.

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1. Números naturais Os números naturais são os números positivos que utilizamos para contagem e mais o número zero. Podemos escrever o conjunto dos naturais da seguinte forma: ℕ = {0, 1, 2, 3,...} As reticências indicam que nunca paramos de contar, isto é, o conjunto dos números naturais é formado por uma infinidade de números positivos e o número zero. 2. Números inteiros O conjunto dos números inteiros é formado por todos os números naturais e seus opostos negativos. Temos então: ℤ = {...,-2, -1, 0, 1, 2,...} Usamos os números inteiros para indicar dívidas, por exemplo, ou quando queremos subtrair valores. 3. Números racionais e irracionais Os conjuntos de números naturais e inteiros são formados apenas por números “redondos”, isto é, sem vírgulas ou casas decimais. Entretanto, existem situações em que precisamos de números compreendidos entre outros. Por exemplo, podemos comprar um litro de água ou podemos comprar um litro e meio. Perceba que um litro e meio é uma quantidade compreen dida entre um litro e dois litros. Essa noção de números com vírgulas ou frações define o conjunto dos números racionais. Esse conjunto é formado por todos os números naturais, todos os números inteiros e todos os números na forma decimal exata ou periódica na forma de frações. Para compreender forma decimal exata ou periódica na forma de frações, veja os seguintes exemplos: 2,5 5 2 =

12

10

3,333...

3 =

No segundo exemplo, queremos dividir o número 10 em três parcelas iguais, entretanto esse valor não é exato. Obtemos como resultado três parcelas iguais de valor 3,333..., em que as reticências indicam que devemos repetir o número 3 sem parar nunca. Esse número é uma dízima periódica . Outros exemplos de dízimas: 0,777..., 1,234234234... etc. Dízimas periódicas são números que, em sua representação decimal, apresentam uma repetição infinita de termos.

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O conjunto dos números racionais pode ser representado por: ℚ = { todo número do tipo , em que a e b são números inteiros e b não pode ser zero } Além das formas decimais exatas e das dízimas, temos números como: a b

π =3,14159265358979323846264338327950288419716939937510…

Esse número é chamado de pi e possui infinitas casas decimais sem repetição. Dessa forma ele não se enquadra no conjunto dos números racionais.

g

O número pi representa a razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência. Acesse o AVA e veja uma animação que explica esse número.

O conjunto que agrupa os números que, na forma decimal, possuem infinitas casas decimais que não se repetem é chamado de conjunto dos números irracionais, geralmente representado pela letra . Outro exemplo de número irracional é a raiz quadrada de 2. Veja: √2= 1,41421356237309504880168872420969807856967187537694…

Observe que o conjunto dos números irracionais é formado apenas por números que não podem ser escritos como frações exatas ou como dízimas periódicas.

6 -√2

,√3 ,√7 e π.

13

4. Números reais O conjunto dos números reais é formado pela reunião de todos os conjuntos de números anteriormente citados. Desse modo, o conjunto dos números reais é constituído pela reunião de todos os números naturais, inteiros, racionais e irracionais ℝ = {todos os números dos conjuntos ℕ , ℤ , ℚ , } Atividade 1: Conjuntos numéricos Considerando os conjuntos estudados nos itens anteriores, indique, para cada número, a quais conjuntos numéricos ele pertence.

a) 0

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b)

6 -√2

,√3 ,√7 e π.

14

6 1

c)

3 10

d)

e) -π

1 3

f)

1000 27

g)

7 2

h)

i) 0,47474747…

6 -√2

j) ,√3 ,√7 e π.

Tópico 2: Operações fundamentais Você viu no tópico anterior que o conjunto dos números reais é formado pelos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. A partir de agora, você estudará a adição, subtração, multiplicação e divisão entre números reais, assim como verá as expressões e regras de sinais. Neste tópico trataremos apenas os casos de números com casas decimais exatas. As operações para frações serão estudas em outro tópico.

1. Adição, subtração, multiplicação e divisão

1.1. Adição A adição combina dois números, chamados parcelas , em um único número, a soma ou total , isto é: parcela + parcela = soma ou total

• Quando uma das parcelas da soma é o número zero, o total será o valor da outra parcela. • Na soma não importa a ordem das parcelas.

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Exemplos: 1) 0 + 15 = 15

2) 29 + 0 = 29

3) 1 + 4 = 5

4) Por exemplo, para efetuarmos a soma 573 + 238, podemos separar cada número em suas unidades, dezenas e centenas, ou seja: 573 = 500 + 70 + 3 e 238 = 200 + 30 + 8

Logo: 573 + 238 = 500 + 70 + 3 + 200 + 30 + 8 = 573 + 238 = (500 + 200) + (70 + 30) + (3 + 8) = (500 + 200) + (70 + 30) + 11

= (500 + 200) + (70 + 30) + 10 + 1 = (500 + 200) + (70 + 30 + 10) + 1 = (500 + 200) + 110 + 1 = (500 + 200) + 100 + 10 + 1 = (500 + 200 + 100) + 10 + 1 = 800 + 10 + 1 = 811

Ou equivalentemente:

811 ¹5¹73 + 238

Note que, quando somamos 3 com 8, obtemos 11, logo “vai 1” para ser somado às dezenas (no caso, o 7). Isso ocorre novamente quando somamos as dezenas e “vai 1” para as centenas.

15

5) 3,12 + 6,637 = 9,757 Para resolver esse exemplo com casas decimais, montamos a conta da seguinte forma:

9,757 3,120 + 6,637

Devemos alinhar as parcelas pelas vírgulas , não importa quantas parcelas estivermos somando. Para facilitar, completamos com o número zero as casas decimais “vazias”.

6) 4,12 + 3,1 + 2,358 = 9,578

4,120 9,578 3,100 + 2,358

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1.2. Subtração Na operação de subtração, de um valor numérico ( minuendo ) é removido outro valor ( subtraendo ). O resultado dessa operação é chamado diferença . Temos, assim: minuendo – subtraendo = diferença

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Na subtração devemos respeitar a ordem em que fazemos a operação.

Exemplos:

1) 7 – 2 = 5

2) 2 – 7 = -5

Observe nos exemplos 1 e 2 como a inversão na ordem da operação de subtração alterou o resultado. No exemplo 2, como o subtraendo é um número maior que o minuendo, a diferença será um número negativo. Assim como na soma, caso um dos termos seja o número zero, a diferença será o outro número (respeitando o sinal).

3) 0 – 15 = -15

4) 29 – 0 = 29

5) Para efetuarmos 531 – 245, podemos separar cada número em suas unidades, dezenas e centenas, assim como feito na soma, isto é: 531 – 245 = 500 + 30 + 1 – (200 + 40 + 5) = = 500 + 30 + 1 – 200 – 40 – 5 = = (500 – 200) + (30 – 40) + (1 - 5) =

= (500 - 200) + (20 + 10 - 40) + (1 - 5) = = (500 - 200) + (20 - 40) + (10 + 1 - 5) = = (500 - 200) + (20 - 40) + (11 - 5) = = (500 - 200) + (20 - 40) + 6 = = (400 + 100 - 200) + (20 - 40) + 6 = = (400 - 200) + (100 + 20 - 40) + 6 = = (400 - 200) + (120 - 40) + 6 =

= (400 - 200) + 80 + 6 = 200 + 80 + 6 = 286

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Podemos também realizar a mesma conta da seguinte forma

2 8 6 4 5²3¹1 - 2 4 5

Observe que não podemos subtrair 5 do número 1. Dessa forma “pedimos 1 emprestado” para a casa das dezenas, logo o 1 se torna 11 e podemos subtrair 5. O 3 (a dezena) que “emprestou 1” vira 2. Por um raciocínio parecido, “pedimos 1 emprestado” da centena.

6) 6,637 - 3,12 = 3,517

Assim como na soma, para montar a conta de subtração com casas decimais devemos alinhar os números por suas vírgulas e é muito importante respeitar a ordem dos números . Assim, temos:

3,517 6,637 - 3,120

7) 4,12 - 3,1 - 1 = 0,02

Quando houver mais de dois termos na subtração, para evitar erros de sinais, a melhor estratégia de resolução é fazer a conta em etapas, ou seja, faremos duas contas respeitando a ordem. São elas:

a) 4,12 - 3,1 = resultado parcial

b) resultado parcial - 1 = diferença

Temos então:

17

1,02 4,12 - 3,10

Assim, vemos que o resultado parcial é 1,02. Vamos realizar agora a última etapa da operação, isto é, faremos 1,02 - 1.

0,02 1,02 - 1,00

1.3. Multiplicação Os números numa multiplicação são chamados de fatores ; e o resultado da operação, de produto . Temos então que: fator x fator = produto

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• Quando um dos fatores é o número 0, o produto será 0. Isso significa que qualquer número multiplicado por 0 fornece como resultado 0. Por exemplo: 17 * 0 = 0 e 0 * 17 = 0. • Caso um dos fatores seja o número 1, o produto será o outro fator. Isso quer dizer que qualquer produto de um número vezes 1 resulta no próprio número. Por exemplo: 47 * 1 = 47. • Podemos representar a operação de multiplicação por três símbolos diferentes: x, * ou apenas um ponto entre os números. Por exemplo: 3 * 2 = 6, ou 3 x 2 = 6, ou 3 · 2 = 6. • Na multiplicação não importa a ordem dos números. Por exemplo: 3 * 2 = 2 * 3 = 6. Se os números possuírem casas decimais, somamos a quantidade de casas decimais após a multiplicação, no sentido da direita para a esquerda. Você entenderá melhor essa lógica quando realizar as contas utilizando frações. Como veremos a seguir, e , logo as duas contas seguintes são iguais: 0,1*0,1=0,01 e * = 10 1 10 1 100 1 Mais adiante você verá expressões numéricas que envolvem parênteses. Quando multiplica mos um número de fora dos parênteses pelos que estão dentro, cada número deve ser mul tiplicado. Por exemplo: 2 * (2 + 3) = 2 * 2 + 2 * 3 = 4 + 6 = 10. Para entender melhor esse assunto, confira alguns exemplos. Lembre-se de que para a multiplicação você deve saber a tabuada de todos os números. 10 1 0,1 = 100 1 0,01 = d Comentário do Autor

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Exemplos:

1) 6,637 * 3,12 = 20,70744 Uma forma de realizar essa conta é separando um dos números em unidades, dezenas e centenas. Escolhendo o número 3,12 para decompor, temos que: 6,637 * 3,12 = 6,637 * (3 + 0,1+ 0,02) =

=6,637 * 3 + 6,637 * 0,1 + 6,637 * 0,02 = = 6,637 * 3 + 6,637 * 0,1+ 6,637 * 0,02 = = 19,911 + 0,6637 + 0,13274 = 20,70744

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Outra forma de realizar a mesma conta é a seguinte. (Observe que a maneira apresentada aqui é apenas mais rápida, mas chega no mesmo resultado.)

13274 6,637 x 3,12

20,70744 6637+ 19911++

Efetuamos a multiplicação como se não houvesse vírgulas. Ao final do processo, somamos cada parcela referente às multiplicações por dois, um e três e acrescentamos a vírgula.

2) 149 * 1,3 * 3 = 581,1 Quando multiplicamos mais de dois números, fazemos cada multiplicação em separado. Dessa forma, faremos: a) 149 * 1,3 = resultado parcial

b) resultado parcial * 3 = produto

Efetuando cada conta, temos:

149 + 447 149 x 1,3 193,7

Assim, o resultado parcial é 193,7. Por fim efetuamos a segunda multiplicação: 581,1 193,7 x 3

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1.4. Divisão Na divisão, o número que está sendo dividido é chamado dividendo e o número que divide é o divisor . O resultado da divisão é denominado quociente . Assim temos: dividendo ÷ divisor = quociente

Por exemplo, 6 ÷ 2 = 3. Nesse caso 6 é o dividendo, 2 o divisor e 3 o quociente.

Embora a divisão seja um processo para conseguir grupos iguais, nem todos os números são divididos uniformemente. Damos o nome de resto ao número que sobra depois de dividir um número não divisível exatamente. Por exemplo, suponha que queremos dividir uma pizza com 12 fatias entre 5 pessoas. Quantas fatias inteiras cada pessoa recebe? Note que essa

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20 operação corresponde a 12 ÷ 5. Para resolvermos essa divisão, buscamos na tabuada de 5 o valor que mais se aproxima de 12, no caso o número 2 (pois 5 * 2 = 10). E a diferença entre esses dois números é 12 - 10 = 2. Como 2 é um número menor que 5, não podemos dividi-lo mais sem obtermos um número com vírgula. Então, como queremos apenas fatias inteiras da pizza , concluímos que cada uma das 5 pessoas receberá 2 fatias e restarão 2 fatias. • O dividendo pode ser o número 0, resultando em 0 como quociente. • O divisor nunca poderá ser o número 0, isto é, não podemos dividir nenhum número por 0. • Caso o divisor seja o número 1, o resultado será o dividendo. • A ordem em que a operação é feita é importante, pois, se trocarmos o dividendo pelo divisor, obteremos outro resultado. • A divisão pode ser denotada pelo símbolo ÷, pela barra (/) e também por dois-pontos (:).

Para entender melhor esses casos, observe os exemplos. Novamente, é preciso lembrar as tabuadas para efetuarmos divisões.

Exemplos:

5 10 = 2

1) 10 ÷ 5 = 2, ou podemos escrever

, ou ainda 10 : 2 = 5.

2) Observe que 10 ÷ 5 = 2, mas 5 ÷ 10 = 0,5.

3) 0 ÷ 5 = 0

4) Não existe a operação 5 ÷ 0 ou qualquer outro número dividido por 0.

5) 31 ÷ 1 = 31

Agora, vamos resolver algumas divisões cujos resultados serão números com vírgulas e algumas divisões entre números com vírgulas:

6) 225 ÷ 50

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Se multiplicarmos 4 por 50, obteremos 200 e, assim, a divisão terá resto 25. Não existe um número natural que multiplicado por 50 resulte em 25, então qualquer valor que acrescentarmos ao quociente será menor do que 1. Portanto, para prosseguirmos, teremos de acrescentar uma vírgula ao quociente e um zero ao resto. Procuramos agora um número que multiplicado por 50 resulte em 250. Esse número é o 5. Portanto, 225 ÷ 50 = 4,5.

_ 50 4 _ _

_ 50 4,5

225 200 25 -_

225 -_200

_

_ _

250 250 0 _

É interessante observar que se um “0” é acrescido, o resultado da divisão irá para a casa do décimo. Agora, se é necessário acrescentar outro “0”, o resultado irá para a casa do centésimo, e assim por diante.

7) 30 ÷ 2,5

Para realizar essa divisão, vamos escrever o número 30 na forma 30,0. Agora que tanto o dividendo quanto o divisor têm um número após a vírgula, podemos desconsiderar as vírgulas e realizar a divisão entre 300 e 25, obtendo como resultado o quociente 12, como mostra a figura a seguir.

21

_ _ _

2,5

25 12

_

_

30

300

_

_

-_25

_

_

_

50 50 0 _ _ -

30,0 _ _ 2,5 300 _ _ 25 _ _ _

-

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8) 31,775 ÷ 15,5

22

Nesse caso, precisamos acrescentar dois zeros ao divisor para que ambos tenham três algarismos após a vírgula. Feito isso, nós desconsideramos as vírgulas e realizamos a divisão de 31775 por 15500, obtendo como quociente o número 2,05. É importante ter em mente que 10 ÷ 50 é a mesma coisa que 100 ÷ 500. Desse modo, podemos multiplicar quantas vezes desejarmos o divisor e o dividendo sem interferir na conta. Ora, se queremos operar “sem vírgulas”, vamos multiplicar quantas vezes forem necessárias para as vírgulas “sumirem”. Como temos até três casas após a vírgula, precisaremos multiplicar ambos os números por mil. Veja a seguir o passo a passo dessa divisão: 31,775 _

_ _ 15500 2,05

_ _ 15,5 _ _

- _ _ - 31775 31000

_ _

_

7750 _0 77500 77500 0

31,775 _ _ 15,500 31775 _ _ 15500 _ _ _

- _

-

2. Soma algébrica, regra de sinais e expressões numéricas Agora que você relembrou como realizar as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão para números reais, incluindo números decimais (com vírgulas), vamos estudar as somas com números que possuem sinais diferentes. Você verá também as regras de sinais e, por fim, juntaremos esses conceitos em expressões numéricas. 2.1 Soma algébrica Considere a seguinte situação comum em nosso dia a dia. Digamos que você tem um crédito na vendinha da esquina. Quanto mais comprar, menor ficará o crédito e, se esgotar o crédito e ainda continuar comprando, terá uma dívida ao invés de um crédito, certo? Se mesmo em débito continuar comprando, a dívida só irá aumentar. Por outro lado, se começar a pagar essa dívida, ela irá diminuir até um ponto em que voltará a ter crédito.

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Nome: José da Silva

Crédito Compra Saldo Compra Saldo Compra Saldo Crédito Saldo Crédito Saldo

100,00 75,00 25,00

_

Por exemplo, se você tem crédito de R$ 100,00 e realiza uma compra de R$ 75,00, então seu saldo passará a ser 100 – 75 = 25. Agora, se efetuar mais uma compra de R$ 50,00, seu saldo passará a ser 25 – 50 = –25. Caso faça outra compra de R$ 25,00, o saldo ficará –25 – 25 = –50. Agora, supondo que você efetue um pagamento de R$ 30,00, terá um saldo de –50 + 30 = –20. E, por fim, fazendo um pagamento de R$ 40,00, passará a ter um saldo de –20 + 40 = 20.

_

50,00 25,00 _ 25,00 50,00 _ 30,00 20,00 _ 40,00 20,00 _ - - -

23

Esse caso prático ilustra as operações de soma de números com sinais diferentes, em que devemos proceder da seguinte forma: • Sinais iguais – somamos os valores e repetimos o sinal. • Sinais diferentes – subtraímos os números e damos o sinal do maior número.

Exemplos:

1) 2 + 6 = 8

4) -8 - 9 = -17

2) 19 + 3 = 22

5) 15 - 3 = 12

3) - 3 - 15 = -18

6) -25 + 10 = -15

Matemática Básica e Financeira

2.2. Regra de sinais Considere o seguinte exemplo: possuo duas dívidas de R$ 1.000, logo posso representar o valor total da dívida por 2 * (-1.000). Assim, ao final terei uma dívida de R$ 2.000, ou seja, –R$ 2.000. Analogamente, se temos um crédito de R$ 5.000 e ele triplica, representamos como 3 * 5.000, logo nosso crédito passa a ser de R$ 15.000. Quando queremos multiplicar ou dividir números com sinais diferentes, devemos aplicar a seguinte regra de sinais: • Sinais iguais – resultado positivo. • Sinais diferentes – resultado negativo.

24

Isto é:

(+) * (+) = + ou (+) ÷ (+) = + (-) * (-) = + ou (-) ÷ (-) = + (+) * (-) = - ou (-) ÷ (+) = - (-) * (+) = - ou (-) ÷ (+) = -

Se um número não possuir sinal, significa que é positivo. Por exemplo, 3 = + 3.

Exemplos:

1) 3 * 5 = 15

2) (- 3) * (- 5) = 15

3) 3 * (- 5) = - 15

4) (- 3) * 5 = - 15

5) 6 ÷ (- 2) = -3

6) (- 6) ÷ 2 = - 3

7) (- 6) ÷ (- 2) = 3

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Comentário do Autor

Note que, nas multiplicações - 2 * 2 = - 4, - 2 * 1 = - 2 e - 2 * 0 = 0, quando multiplicamos um número negativo por outro número, conforme diminuímos a segunda parcela, o resultado aumenta ao invés de diminuir. Logo, se continuarmos diminuindo as parcelas, teremos: - 2 * - 1 = 2 e - 2 * - 2 = 4.

d

2.3. Expressões numéricas Juntamos agora as somas algébricas com as regras de sinais e, ainda, operações de multiplicação e divisão. Para organizar melhor, usamos parênteses ( ), colchetes [ ] ou chaves { }. Para resolver expressões numéricas, você deve realizar primeiro as operações de multiplicação e divisão e depois somas e subtrações. Quando aparecerem parênteses, colchetes ou chaves, efetue as operações primeiro dos parênteses, depois dos colchetes e por último das chaves. Fique atento às regras de sinais também!

Exemplos:

1) 2 + [2 – 5 * ( 3 + 2 ) – 1] = 2 + [2 – 5 * 5 – 1] =

2 + [2 – 25 - 1] = 2 + [- 24] = 2 - 24 = - 22

2) 2 + {3 – [1 + (2 – 5 + 4)] + 8} = 2 + {3 – [ 1 + 1 ] + 8}

25

= 2 + {3 – 2 + 8 } = 2 + 9 = 11

3) {2 – [3 * 4 ÷ 2 – 2 (3 – 1)]} + 1 = {2 – [12 ÷ 2 – 2 * 2]} + 1

= {2 – [6 – 4] } + 1 = {2 - 2} + 1 = 0 + 1 = 1

3. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) e máximo divisor comum (m.d.c.) Os cálculos que envolvem mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum são relaciona dos com múltiplos e divisores de um número natural. Entendemos por múltiplo o produto gerado pela multiplicação entre dois números. Assim, podemos dizer que 30 é múltiplo de 5, pois 5 * 6 = 30, isto é, existe um número natural que multiplicado por 5 resulta em 30, que é o número 6. Indicamos os múltiplos pelo símbolo M( ). Veja mais alguns números e seus múl tiplos a seguir.

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Exemplos:

26

M(3) = 0,3,6,9,12,15,18,21,…

M(4) = 0,4,8,12,16,20,24,28,32,…

M(8) = 0,8,16,24,32,40,48,56,…

Observe que os múltiplos de um número formam um conjunto de infinitos elementos.

• Todo número inteiro múltiplo de 2 é chamado de par . Exemplos: 6 = 2 * 3 e 30 = 2 * 15. • Todo número inteiro que não é múltiplo de 2 é denominado ímpar . Exemplos: 15 = 3 * 5 e 21 = 3 * 7.

Um número é considerado divisível por outro quando o resto da divisão entre eles é igual a zero. Indicamos os divisores de um número pela notação D( ). Observe alguns números e seus divisores.

Exemplos:

1) D(3) = 1,3

2) D(9) = 1,3,9

3) D(10) = 1,2,5,10

4) D(11) = 1,11

5) D(20) = 1,2,4,5,10,20

6) D(25) = 1,5,25

Atenção

`

Números que são divisíveis apenas pelo número 1 e por eles próprios são chamados de números primos . No exemplo anterior podemos verificar que 3 e 11 são números primos.

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3.1. Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) O m.m.c. entre dois números é representado pelo menor valor comum pertencente aos múltiplos dos números. Denotamos o mínimo múltiplo comum pela notação m.m.c. ( , ).

Exemplo:

1) Vamos encontrar m.m.c. (4,8). Para isso precisamos encontrar os múltiplos de 4 e os múltiplos de 8 e o menor número que aparece em ambas as listas, ou seja:

M(4) = 0, 4, 8 , 12, 16, 20, 24, 28, 32,…

M(8) = 0, 8 , 16, 24, 32, 40, 48, 56,…

Portanto, m.m.c. (4,8)=8.

Podemos calcular de outra forma. Para isso decompomos os números simultaneamente por números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17... Vamos refazer o exemplo anterior desta forma:

4 - 8 | 2 2 - 4 | 2 1 - 2 | 2 1 - 1 | /

Logo:

m.m.c. (4,8) = 2 * 2 * 2 = 8

2) Calcule o m.m.c . (12, 16, 45)

12 - 16 - 45 | 2 6 - 8 - 45 | 2 3 - 4 - 45 | 2 3 - 2 - 45 | 2 3 - 1 - 45 | 3 1 - 1 - 15 | 3

27

1 - 1 - 5 | 5 1 - 1 - 1 | /

Dessa forma:

m.m.c. (12, 16, 45) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 720

O m.m.c. é útil para resolver problemas práticos. Acompanhe!

Exemplos: 1) Três tratores numa colheita percorrem um mesmo trajeto saindo todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto e com o mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 minutos, o segundo em 36 minutos e o terceiro em 30 minutos. Gostaríamos de saber em quanto tempo os tratores voltam a se encontrar.

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Para resolver essa questão, precisamos calcular o m.m.c. entre os tempos dos tratores, pois esse será o menor múltiplo do tempo entre eles, ou seja, o momento em que se encontrarão novamente. Vamos calcular o m.m.c.:

28

30 - 36 - 40 | 2 15 - 18 - 20 | 2 15 - 9 - 10 | 2 15 - 9 - 5 | 3

5 - 3 - 5 | 3 5 - 1 - 5 | 5 1 - 1 - 1 | /

Logo:

m.m.c. (30, 36, 40) = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 360 minutos = 6 horas

Portanto o menor tempo em que os três se encontrarão novamente no ponto de partida é após 6 horas do início da colheita.

2) Um médico veterinário, ao prescrever uma receita para um bovino, determina que três medicamentos sejam ingeridos pelo animal de acordo com a seguinte escala de horários: remédio A, de 2 em 2 horas; remédio B, de 3 em 3 horas; e remédio C, de 6 em 6 horas. Caso o paciente utilize os três remédios às 8 h da manhã, então o próximo horário em que ele tomará os três medicamentos simultaneamente de novo será o valor do m.m.c. (2, 3, 6) + 8 h. 2 - 3 - 6 | 2 1 - 3 - 3 | 3 1 - 1 - 1 | / Assim, o m.m.c. (2, 3, 6) = 6. Portanto o bovino deverá tomar os três remédios novamente às 14 h. Calculando o m.m.c., temos:

Para entender melhor, veja a representação do m.m.c. no esquema a seguir.

Medicamento 1 Medicamento 2 Medicamento 3

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3.2. Máximo divisor comum (m.d.c.) O máximo divisor comum entre dois números é representado pelo maior valor comum pertencente aos divisores dos números, representado por m.d.c.( ,).

Exemplo:

Vamos calcular o m.d.c. (20, 30). Precisamos primeiro encontrar os divisores de 20 e 30 e depois o maior valor comum aos dois, isto é:

D (20) = 1, 2, 4, 5, 10 , 20

D (30) = 1, 2, 3, 5, 6, 10 , 15, 30

Logo, podemos ver que o m.d.c. (20, 30) = 10.

Também podemos encontrar o m.d.c. utilizando um método por decomposição simultânea em fatores primos, ficando:

20 - 30 | 2 10 - 15 | 2 5 - 15 | 3

5 - 5 | 5 1-1 |/ Para calcular o mdc multiplicamos apenas os fatores primos que dividiram ambos os números , neste caso 2 e 5 (em destaque). Portanto:

m.c.d. (20, 30) = 2 * 5 = 10.

Assim como o m.m.c., o m.d.c. pode ser utilizado em exemplos práticos, confira.

29

Exemplos:

1) Uma indústria fabrica rolos de arames de mesmo comprimento. Após realizarem os cortes necessários, verificou-se que duas bobinas restantes tinham as seguintes medidas: 156 metros e 234 metros. Gostaríamos de cortar as sobras em partes iguais com o maior comprimento possível. Para encontrarmos esse valor, precisamos calcular o m.d.c. (156, 234). Utilizando o método que você aprendeu, temos: 156 - 234 | 2

78 - 117 | 2 39 - 117 | 3 13 - 39 | 3

13 - 13 | 13 1 - 1 | / Logo, o m.d.c. (156, 234) = 2 * 3 * 13 = 78. Portanto devemos cortar os pedaços de arame em tamanhos iguais de 78 metros.

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2) Uma empresa é composta de três áreas. A área administrativa tem 30 funcionários, a operacional 48 funcionários e a de vendas 36 funcionários. Se quisermos formar grupos de funcionários com o mesmo número de integrantes, devemos calcular o m.d.c. (30, 36, 48). Assim:

30

30 - 36 - 48 | 2 15 - 18 - 24 | 2 15 - 9 - 12 | 2

15 - 9 - 6 | 2 15 - 9 - 3 | 3

5 - 3 - 1 | 3 5 - 1 - 1 | 5 1 - 1 - 1 | / Portanto o m.d.c. (30, 36, 48) = 2 * 3 = 6. Assim as equipes devem conter 6 funcionários cada.

Atividade 2: Operações fundamentais Calcule:

a) 2 + 3 – 1

b) – 2 – 5 + 8

c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5

d) 2 * (- 3)

e) (- 2) * (- 5)

f) (- 10) * (- 1)

g) (- 1) * (- 1) * (- 2)

h) 4 : - 2

i) - 8 : 4

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j) -20/-10

k) [( 4) * ( 1)] 2

l) [( - 1 + 3 - 5) * (2 - 7)]: -1

m) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 ) + 2 ] } + 1

n) 8-{-20[(-3+3):(-58)]+2(-5)}

o) 0,5 * (0,4 : 0,2)

p) (4 : 16 ) * 0,5

q) m.m.c. (36, 60), m.m.c. (18, 20, 30)

r) m.d.c. (18, 36), m.d.c. (20, 60)

Tópico 3: Frações Uma fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de uma razão de dois números inteiros, ou seja, uma fração é uma divisão . O dividendo é chamado numerador , e o divisor recebe o nome de denominador .

31

numerador denominador =

fração

Veja como representar frações em desenhos por meio de pedaços de pizza ou lotes de um terreno:

Matemática Básica e Financeira

32

1 2 __

1 4 __

1 8 __

4 6 (quatro sextos) __

5 12 (cinco doze avos) ___

18 24 (dezoito vinte e quatro avos) ___

22 48 (vinte e dois quarenta e oito avos) ___

1. Multiplicação de frações O conceito de multiplicação é muito usado para calcular percentuais: multiplicar um valor por é o mesmo que multiplicar por 0,5 ou calcular 50% desse valor. Para efetuar a multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores. Obtemos, assim, uma nova fração. 1 2

Exemplos:

1 2

1 2 3 3 7 7 14 * = * = * 3

1)

15 2

4 9

60 18 = =

30

10

3 =

2)

*

9

Note que, nas duas últimas parcelas do exemplo 2, fizemos simplificações, isto é, dividimos ambas as parcelas por um número em comum, 2 e 3 respectivamente.

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2. Soma e subtração de frações Para somar ou subtrair duas frações, precisamos ficar atentos aos seus denominadores: • Frações com denominadores iguais – repetimos o denominador e somamos/subtraímos o numerador. Por exemplo, imagine que um terreno é dividido em quatro lotes iguais e efetuamos duas compras de lotes: primeiro compramos e depois . A soma dessas frações nos fornece quantos lotes do terreno possuímos, isto é, do terreno. Veja a ilustração seguinte, que exemplifica essa operação 1 4 2 4 3 4

+

=

1 4 __

2 4 __

3 4 2 4 __ = __ + __ 1 4

Exemplos:

3 5 5 + = = + 5 6 6 9

1)

3 5

+

18 2 +

35 = = = = 5 5 5 7 7 * * * 7 7 7

15

18

2 7 +

15

2)

= 1 5

+

=

7

7

7

1 4

3 4

- 1 = = = = 1 - 3 4 2 * -2 4

2 2

-1 2 =

-1 2

-1 2

1

3)

-

=

*

*

2 2 *

• Frações com denominadores diferentes – quando os denominadores são diferentes, precisamos transformar essas frações em frações de mesmo denominador. Isso quer dizer que precisamos de frações equivalentes às que tínhamos, mas com o mesmo denominador. O mesmo processo deve ser realizado nas subtrações.

33

1 5

2 3

e

Observe, por meio da ilustração a seguir, como procedemos na soma das frações

Matemática Básica e Financeira

1 5 2 3 __ + __

34

2 3 __

1 5 __

1 5 3 15 __ = ___

2 3 10 15 __ = ___

3 15 13 15 ___ + ___ = ___ 10 15

1 5 13 15 ___ + ___ = ___ 2 3

A técnica usada para transformar essas frações em frações de mesmo denominador se resume a encontrar o m.m.c. entre os denominadores, depois dividir o m.m.c. encontrado pelo denominador de cada fração e multiplicar pelo seu numerador, respectivamente, para cada fração. Por fim, é feita a soma ou subtração entre os novos numeradores.

Exemplos:

1 3 +

1 2

1)

Primeiro devemos calcular o m.m.c. (2, 3) = 6. Em seguida, para encontrar as novas frações, dividimos o m.m.c. pelo denominador e multiplicamos pelo numerador de cada fração. Veja como fazer:

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* *

1 2 3 * * 2

=

=

=

=

3 + 2 6 = =

1 1 2 *

1 2

1 3

1 3

1 2

3 3

1 3

2 2

1 2

3 3

3 6

2 6

5 6

1 *

+

+

+

+

+

*

*

1 2

5 6 2 3 + -

2)

Nesse exemplo, vamos aplicar a técnica diretamente, de forma mais prática.

Assim como fizemos no exemplo anterior, primeiro calculamos o m.m.c. (2, 6, 3) = 6. Agora devemos reescrever as frações. Como 6 é o novo denominador, dividimos 6 pelos denominadores antigos e multiplicamos o resultado pelo numerador. Nesse caso, 6 ÷ 2 = 3, então fazemos 1 * 3. Em seguida, calculamos 6 ÷ 6 = 1 e então escrevemos 5 * 1 . Por fim, realizamos 6 ÷ 3 = 2, logo o último numerador fica 2 * 2 .

1 2

5 6 2 3 + -

1 3 1 6 5 2 2 + * * * -

3 + 5 - 4

6 6 4 =

3 2 =

6 4

3 2 =

Observe que 6 = 2 * 3 e que 4 = 2 * 2. Dessa forma,

1 5 2 6 +

3 2 -

3 2 =

3. Divisão de frações Quando dividimos duas frações, operamos da seguinte forma:

35

3 5 7 9

3 5 7 9

3 5 7 9

9 7 9 7

3 5 7 9

9 7 9 7

27 35 63 63

27 35 27 1 35 1

* *

1 * * =

=

=

=

= =

Note que porque, pela regra de multiplicação, teremos 7 9 9 7 1 * = e deixaremos de trabalhar com a divisão de frações para trabalhar com o produto, com o qual já sabemos como proceder. Uma maneira mais prática de efetuarmos divisão de frações é “repetindo a fração de cima e multiplicado pelo inverso da fração de baixo (invertendo numerador por denominador e vice-versa)”. 3/5 7/9 3/5 7/9 1 * = 1 = 9/7 9/7 e que,

3 5 7 9

* *

3 5

9 7

3 5

9 7

27 35 =

=

=

*

Matemática Básica e Financeira

Exemplos:

36

1 2 1 3 2 = * = * = 5 * 3 5

1/2 5/3

3 10

1)

3 7 3 5 7 = * = * = 2 * 5 2

3/7 2/5

15 14

2)

Atividade 3: Frações

a)

1 10

1 5

+

b)

4 3

2 3 -

1 3

1 6

1 2 -

c)

+

2 5

1 3 *

d)

1 3

2 5

3 7

e)

+

+

1 6 - *

2 5 -

f)

1/3 1/2

g)

2 3 :

1 5 -

h)

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i)

1 4

1 2

2 3

:

*

1 2 + : 2 4

1 3

j)

k)

1 + 1/3 3

Tópico 4: Proporcionalidade Suponha que você precisa comprar determinado produto químico para o controle de uma praga. Tal produto apresenta uma recomendação de dose na proporção de dois litros para um hectare de lavoura. Considerando que a propriedade possui quatro hectares plantados, como encontramos a quantidade ideal a ser aplicada? O conceito matemático que nos auxilia na resolução desse problema é chamado de regra de três . Para compreender essa regra, primeiro devemos entender os conceitos de razão e proporção e o que significam grandezas diretamente ou inversamente proporcionais. 1. Razão Dados dois números quaisquer, por exemplo, 2 e 3, a razão entre esses números é represen tada por: 2 ou 2/3 ou 2:3 3 De forma genérica, se os números são a e b , denominamos razão entre a e b o quociente a/b. É importante lembrar que b nunca poderá ser o número 0. Veja alguns exemplos práticos que envolvem razões. 1) Suponha que em determinado ano as vendas de frutas de uma fazenda tenham sido de 300 mil reais e que as vendas do ano seguinte sejam de 450 mil reais. Poderíamos comparar esses dois valores dizendo que sua diferença é de 150 mil reais. Porém, a diferença dos valores não nos fornece uma ideia do crescimento de vendas entre os dois anos. Para avaliarmos esse crescimento, calculamos a razão entre as vendas , isto é: 450 300 = Concluímos, assim, que as vendas de frutas do segundo ano são uma vez e meia maiores que a do primeiro ano, o que representa um aumento de receitas de 50%. 1,5 Exemplos:

37

Matemática Básica e Financeira

2) Ao compararmos mapas de propriedades, representamos as distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:

38

medida no mapa

medida real =

escala

Por exemplo, a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 m foi representado por um segmento de 3 cm é: 3 cm 6.000 cm 1 1 ∶ 2.000 2.000 = =

Então nossa escala está na razão de 1 cm para 2.000 cm, ou seja, 1 cm no mapa significa 2.000 cm no terreno.

3) Velocidade média é a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso:

distância percorrida tempo total de percurso =

velocidade média

A distância entre as cidades do Rio de Janeiro e de São Paulo é de, aproximadamente, 400 km. Um carro levou cinco horas para percorrer esse trajeto. Dessa forma:

400 km 5 h

velocidade média =

80 km/h =

2. Proporção Para compreender melhor o conceito de proporção, vamos nos aprofundar no exemplo anterior, da venda de frutas. Você viu que no primeiro ano as vendas de frutas da fazenda somaram 300 mil reais e no segundo ano, 450 mil reais. Suponha que as vendas no terceiro ano sejam de 600 mil reais e as do quarto ano, 900 mil reais. Dessa forma a razão das vendas do quarto ano para as vendas do terceiro ano pode ser calculada pelo quociente:

900 600 =

1,5

Observe que:

1,5 900 600 = =

450 300

Logo, a razão entre as vendas do primeiro e do segundo ano são proporcionais à razão das vendas entre o terceiro e o quarto ano.

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(b e d não podem ser o número zero), a proporção

Conforme vimos, dadas duas razões

a b

c d e

a b

c d =

entre elas é a igualdade . Lemos essa expressão da seguinte forma: “ a está para b assim como c está para d ”. Toda proporção satisfaz a seguinte propriedade:

a b

c d

⟹ a d = b c * *

=

Resumidamente, em toda proporção os produtos cruzados são iguais . Exemplos:

1) Em virtude da demanda crescente de economia de água, há equipamentos e utensílios, como as bacias sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros usados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por meio da substituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? Chamemos de x o número de litros de água despejados pela bacia ecológica. Daí:

6 x

360 15

15 60

=

⟹ 15 x = 60 6 ⟹ x =

= 24

*

*

O resultado mostra que a bacia ecológica gasta 24 litros, enquanto a não ecológica gasta 60 litros. Assim a economia será de: 60 - 24 = 36 litros

3. Grandezas diretamente e inversamente proporcionais Definimos como grandeza tudo aquilo que pode ser contado e medido, por exemplo, o tempo, a velocidade, o comprimento, o preço, a idade, a temperatura, entre outros. As grandezas são classificadas em diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. 3.1. Grandezas diretamente proporcionais São aquelas grandezas em que a variação de uma provoca a variação da outra numa mesma razão. Se uma dobra, a outra dobra. Se uma triplica, a outra triplica. Se uma é dividida em duas partes iguais, a outra também é dividida à metade.

39

Exemplos:

1) Se três rastelos custam R$ 80,00, o preço de seis rastelos será R$ 160,00. Observe que, se dobramos o número de rastelos, também dobramos o valor final deles.

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